本書是專供有志強化微積分解題能力者所寫的一本書，全書之難度始終維持在一個國立大學理工學院中等程度以上學生應該有或經努力後應該達到的微積分水準，本書內容有相當比重是取材自國內外高等微積分的問題，因此本書目標是讓讀者能較輕易地與工程數學、機率學、工程統計、理論統計、財務工程、及其他需要數學為基礎之專業課程能有所接軌，因此除了計算性問題外特別著重證明題，這是本書最大的重點也是最大的特色，更是本書讀者較其他同類型書籍讀者有更大受惠之所在，我的一些學生即便甄試到研究所，仍在研一開學前複習本書以做未來研究生涯的準備。

本書不以協助讀者插班大學或考研究所之目的作為寫作目標，但事實證明使用本書仍可使他們在微積分這門課程有高標準的成績。

如果讀者研習本書有困難時，我推薦可先研讀五南出版之黃學亮教授的普通微積分，這是一本專供初學微積分而有意更上一層樓者的一本教科書，若讀者備有該書在本書研作上可能較為容易些。如果配合研閱，對微積分之部分難題將有突破作用。書中有◎者為常見之重要題，有※為較難題，可供讀者在研閱時作選題之參考。

本書雖是作者累積十數年在大學及補習班教授數學之經案而編成；總希望能對讀者在微積分學習上有所助益，惟作者輒感囿於自身學力有限而無法達成上述理想，同時謬誤之處亦在所難免，尚祈讀者諸君不吝賜正為荷。

作者黃學亮　謹識

作者

黃學亮

學歷：

國立政治大學統計研究所碩士

國立清華大學工業工程博士研究

經歷：

文化大學、逢甲大學、靜宜大學兼任教師

考研所補習班微積分及機率統計任課教師

目錄

第一章 極限與連續001
§1-1 直觀極限／001
§1-2 各種極限問題之解法／007
§1-3 無限大（infinity）／020
§1-4 連續（Continuity）／036
§1-5 漸近線／043
§1-6 極限之正式定義／048
§1-7 連續函數之基本性質／058

第二章 微分學067
§2-1 導函數之定義／067
§2-2 三角函數、指數函數與對數函數之微分法／082
§2-3 隱函數／92
§2-4 高次微分法／95

第三章 微分應用111
§3-1 均值定理／111
§3-2 不定型／126
§3-3 泰勒展式／149
§3-4 極 值／159
§3-5 描曲線法／205
§3-6 切線與法線／216
§3-7 估 計／228
§3-8 相對變化率／236
§3-9 微分應用雜論／245

第四章 積 分253
§4-1 積分之基本解法／253
§4-2 微積分基本定理／271
§4-3 變數變換／277
§4-4 部分積分法／282
§4-5 積分技巧／297
§4-6 Gamma函數與Beta函數／352

第五章 積分應用367
§5-1 積分的近似值／367
§5-2 面 積／374
§5-3 弧 長／390
§5-4 體 積／402
§5-5 積分方程式簡介／406

第六章 偏微分及其應用413
§6-1 多變數函數之極限與連續／413
§6-2 偏微分（Partial Derivative）／420
§6-3 合成函數之微分／426
§6-4 高次偏微分之解例／434
§6-5 隱函數之微分法／442
§6-6 積分符號下之微分法／448
§6-7 偏微分之應用──多變量相對極大、極小值之求解／451
§6-8 Lagrange乘數／458

第七章 重積分481
§7-1 定 義／481
§7-2 之變數變換與改變積分順序技巧／492
§7-3 三重積分／516
§7-4 帶有參數之積分法／540

第八章 無窮級數547
§8-1 收斂與發散／547
§8-2 正項級數／559
§8-3 交錯級數／577
§8-4 冪級數／588
§8-5 二項級數與泰勒級數／601
§8-6 瑕積分／617

第九章 微分方程式629
§9-1 引 言／629
§9-2 一階微分方程式／633
§9-3 二階微分方程式／678

第十章 向量微積分簡介693
§10-1   向量與空間平面與直線／693
§10-2   方向導數與切法面方程式／713
§10-3   向量微分／729
§10-4   梯度、散度與旋度／736
§10-5   線積分／745
§10-6   向量積分／756

序／導讀

三版序

回想本書最早是作者服預官役時，為準備研究所微積分考試蒐集之考題並參考Richard A Silverman之Calculus with Analytic Geomertry習題與例題，這是以俄羅斯微積分問題為號召，以及Tom Apostol: Calculus, Apostol是美國加州理工學院之教授，習題難度高，在本書第一版出版後，市面上陸續出現一些有關微積分演練的好書，如凡昊出版社之微積分4500題，徐氏基金會之「精選微積分學1284題與詳解」，以及水牛出版社之微分學演習（日本能代清著，劉睦雄譯）與積分學演習（日本井上正雄著、劉睦雄譯）等，這些對當年熱愛微積分演習者都是耳熟能詳的好書。我在二至六版均逐漸擇其中較有啟發性，並排除過於繁雜計算或苛難之「孤鳥式」難題。

嗣後因出版業版圖洗版，原先之由六國、中央、文笙出版至七版後，統改由五南圖書出版，又將屆3版，檢討以前諸版雖增加了問題，但略顯系統化不足，因此，大幅調整篇幅，同時也增加了大約150題之精彩問題，部分例題、習題旁加了框框，以對難記的公式、小撇步、注意事項做一點醒。希望對讀者研習時有提升有所助益。

環顧國內微積分問題書市場，幾乎都偏重考古題，一些不以考題之「功利導向」的書籍鳳毛麟角，本書能歷經數十年，還能站在臺灣這個近乎「夕陽」的出版市場，尤其能有網友偶發之激勵都讓我很感動，也很感激。

數學之學習尤重在正確觀念上做充分之練習，並將練習過程中從別人之經驗以及你自己之心得融於你的腦海中，那就是你的實力，實力為成功之本，願以此與讀者共勉之，亦希望讀者把你的意見告知，那更是我所企盼者。