為何我們要學數學？為何數學對每個人都重要？
看似複雜的非數學問題，可以用數學架構來分析！
◆如何識破龐氏騙局、做好理財投資？
◆為何保險最好找大公司？
◆如何防範黑天鵝事件、規劃公司成長曲線？
◆如何提高履歷通過初選的機率？
◆如何在買房貸款時做出好的選擇？
◆如何知道藏在貸款利息和傳銷中的秘密？
◆幾何學為何能成為法律的理論基礎？
◆哲學家為何會向牛頓發起挑戰？
◆為何十六世紀的數學家們不像今日搶先發表研究成果，卻寧可選擇保密？
◆研究歷史需要用數學的思路？
理解數學的底層邏輯與方法
對很多人來說，數學是一堆枯燥的公式和數字，看到就頭痛，學了也記不住，好不容易從學校畢業開始工作，認為此生與數學無關，往往看到數學就直接放棄。
事實上，即使沒有理工或商科背景，數學都是我們對世界、對變化、對規律，最基本最共通的理性思維方式；搞懂數學通識，一旦形成並養成習慣，面對問題時自然能夠更深入，把方方面面知識體系連結起來，提供一個思路，進而抽絲剝繭解決問題。
吳軍博士身為電腦科學家、矽谷投資人與暢銷書作家，他在書中從本質出發，告訴你如何抓住重點，把「自己能懂的數學」學好就夠；以講義形式深入淺出呈現數學思維，改變學數學的方法，藉此逐步訓練自己善用數學工具，強化邏輯能力，受益一生。
➤基礎：從「勾股定理」的故事說起，數學與美學、建築以及音樂的發展息息相關。數學最基礎的原則就是邏輯上的一致和完備性，把看似孤立的知識串聯起來。
➤數字：數字概念能讓你體會到思考工具的進步——從具體到抽象，再到完全的想像。很多人依然以為「無窮大和無窮小」只是巨大和極小的數字，事實上它們與日常遇到的具體數字不同，代表的是變化的趨勢和快慢。
➤幾何：看數學如何從經驗中發展，逐漸構建成邏輯嚴密的知識體系——由直觀到簡單規律，擴展到定理、推論。許多數學並非是直接應用，而是對其他知識有借鑑意義，例如法學就受到數學公理化的影響。
➤代數：讓你的認知從個體上升到整體，從點對點的單線連接上升到規律性聯繫。
➤微積分：和初等數學的工具不同，教會大家兩個進階的思考工具：從靜態累積到動態變化，以及從動態變化到靜態累積，例如薪水的上漲和財富增加的關係。
➤機率和數理統計：時至近代，很多現實問題很難有完全確定的答案。為了研究不確定性世界的規律，機率論和統計學逐漸發展起來，它們就是大數據思維的科學基礎。
這是一本給所有人的數學通識講義，看的是運用數學的思考方式，而不是解答技巧，我們可以借助數學思維來有效提升自己的邏輯、認知世界。此外，還能看到數學的有趣面：
→畢達哥拉斯為了否認「無理數」而害死自己的學生？
→美國南北戰爭時期的總統林肯，竟然用「直角」的公理說服國會通過《解放奴隸宣言》？
→十六世紀數學家們為何要「決鬥」？他們對決的方式是什麼？
很多時候，數學不能直接解決我們的實際問題，但能提供我們一個思路。貫穿全書的數學發展史，可說是人類認知的發展史，可以由此訓練並提升認知：從直觀到抽象，從靜態到動態，從宏觀到微觀，從隨意到確定再到隨機。
本書透過關鍵知識點串聯起整個數學體系，明確理解數學的知識結構，幫助培養數學思維：
★增強判斷力，遇到問題知道如何判斷：提高邏輯推理能力和合乎邏輯的想像能力，有了這兩種能力，就能從事實出發，得到正確的結論。
★增強解決問題的能力，對於未知問題，知道如何一步步由淺入深、分析解決：再難的幾何題最終都可以拆成五個最基本的公理。在工作中，再複雜的問題也可以分解為若干個能解決的簡單問題。
★增強運用工具的能力，遇到新的問題，知道用什麼方法解決或找誰幫忙。
名人推薦
好評推薦
通識教育的重要性一直被人們所忽略，實際上，想要達到精英水準，單靠一個個的專業化技能是不夠的。綜合素養的培育必不可少。
在通識教育中，數學素以高深著稱，讓文科生都能讀懂微積分極不容易，而《數學通識講義》做到了這一點。為什麼一個學理工的人能做到這一點呢？答案就在《閱讀與寫作通識講義》中。——羅振宇（得到App創始人）
這個世界的最底層規律，都是建立在數學的根基上。但是，很多人考大學時，只要能不再學數學，什麼專業都可以。錯不在你。你和學好數學之間，其實只差一個好的老師。這個好的老師，他能夠把抽象的數學具體化，告訴你每一個縹緲的公式的現實作用，讓你恍然大悟，原來如此。這個好老師，就是吳軍老師。作為數學系科班畢業的商業顧問，我強烈推薦你閱讀吳軍老師的《數學通識講義》。——劉潤（潤米諮詢創始人）
作者
吳軍
約翰．霍普金斯大學電腦資訊科學博士，人工智慧、語音識別和搜尋技術專家，矽谷風險投資人，暢銷書作家。現任豐元資本風險投資基金創始合夥人、上海交通大學客座教授、約翰．霍普金斯大學工學院董事等職。得到App課程主理人，開設「矽谷來信」、「數學通識50講」、「科技史綱60講」等專欄和課程。
著作有《閱讀與寫作通識講義》、《見識》、《格局》、《態度》、《全球科技大歷史》、《浪潮之巔》、《數學之美》、《文明之光》、《矽谷之謎》等十餘部暢銷書並多次獲獎，包括文津圖書獎、中國好書、藍獅子商業圖書獎等，以及吳大猷科普著作獎（《全球科技大歷史》）。
目錄
前言
基礎篇
第1章／理解數學的線索：從畢達哥拉斯講起
1.1勾股定理：為什麼在西方叫畢氏定理？
1.2數學的預見性：無理數是畢氏定理的推論
1.3數學思維：如何從邏輯出發想問題？
1.4黃金分割：數學和美學的橋梁
1.5優選法：華羅庚化繁為簡的神來之筆
第2章／數列與級數：承上啟下的關鍵內容
2.1數學的關聯性：費氏數列和黃金分割
2.2數列變化：趨勢比當下重要
2.3級數：傳銷騙局裡的數學原理
2.4等比級數：少付一半利息，多獲得一倍報酬
第3章／數學邊界：數學是萬能的嗎？
3.1數學的局限性：從勾股定理到費馬最後定理
3.2探尋數學的邊界：從希爾伯特第十問題講起
數字篇
第4章／方程：新方法和新思維
4.1雞兔同籠問題：方程這個工具有什麼用？
4.2一元三次方程的解法：數學史上著名的發明權之爭
4.3虛數：虛構的工具有什麼用？
第5章／無窮大和無窮小：從數值到趨勢
5.1無窮大：為什麼我們難以理解無限大的世界？
5.2無窮小：芝諾悖論和破解
5.3第二次數學危機：牛頓和柏克萊的爭論
5.4極限：重新審視無窮小的世界
5.5動態趨勢：無窮大和無窮小能比較大小嗎？
幾何篇
第6章／基礎幾何學：公理化體系的建立
6.1幾何學的起源：為什麼幾何學是數學最古老的分支？
6.2公理化體系：幾何學的系統理論從何而來？
第7章／幾何學的發展：開創不同數學分支融合的先河
7.1非歐幾何：換一條公理，幾何學會崩塌嗎？
7.2圓周率：數學工具的意義
7.3解析幾何：如何用代數的方法解決幾何問題？
7.4體系的意義：為什麼幾何能為法律提供理論基礎？
代數篇
第8章／函數：重要的數學工具
8.1定義和本質：從靜態到動態，從數量到趨勢
8.2因果關係：決定性和相關性的差別
第9章／線性代數：超乎想像的實用工具
9.1向量：數量的方向與合力的形成
9.2餘弦定理：文本分類與履歷篩選
9.3矩陣：多元思維的應用
微積分篇
第10章／微分：如何理解宏觀和微觀的關係？
10.1導數：揭示事物變化的新規律
10.2微分：描述微觀世界的工具
10.3奇點：變化的連續和光滑是穩定性的基礎
第11章／積分：從微觀變化了解宏觀趨勢
11.1積分：微分的逆運算
11.2積分的意義：從細節了解全局
11.3最佳化問題：用變化的眼光觀看最大值和最小值
11.4發明權之爭：牛頓和萊布尼茲各自的貢獻
*11.5 體系的完善：微積分公理化的過程
機率和數理統計篇
第12章／隨機性和機率論：如何看待不確定性？
12.1機率論：一門來自賭徒的學問
12.2古典機率：拉普拉斯對機率的系統性論述
12.3白努利試驗：隨機性到底意味著什麼？
12.4平均數與變異數：理想與現實的差距
第13章／機率小和機率大：如何資源共享和消除不確定性？
13.1卜松分布：為什麼保險公司必須有很大的客戶群？
13.2高斯分布：機率大事件意味著什麼？
*13.3機率公理化：理論和現實的統一
第14章／先決條件：度量隨機性的新方法
14.1先決條件：條件對隨機性的影響
14.2差異：機率、聯合機率和條件機率
14.3相關性：條件機率在資訊處理的應用
14.4貝氏定理：機器翻譯如何運作？
第15章／統計學和數據方法：準確估算機率的前提
15.1定義：什麼是統計學？
15.2實踐：如何做好統計？
15.3古德—圖靈折扣估計：如何防範黑天鵝事件？
15.4 換個眼光看世界：機率是一種世界觀，統計是一種方法論
終篇
第16章／數學在人類知識體系的位置
16.1數學和哲學：一頭一尾的兩門學科
16.2數學和自然科學：數學如何改造自然科學？
16.3數學和邏輯學：為什麼邏輯是一切的基礎？
16.4數學和其他學科：為什麼數學是更底層的工具？
16.5未來展望：希爾伯特的講演
附錄1黃金分割等於多少？
附錄2為什麼費氏數列相鄰兩項的比值收斂於黃金分割？
附錄3等比級數求和的算法
附錄4一元N次方程xN＝1的解
附錄5積分的其他兩種計算方法
附錄6大數法則
附錄7希爾伯特退休講演的英文譯文
（標*的章節為延伸閱讀內容）
序／導讀
前言
作為通識教育的數學應該是什麼樣的？
如果要問人類的理性精神最具持久力和影響力的知識體系是什麼？答案是數學；如果有外星高等文明想和人類進行交流，最方便的語言是什麼？答案也是數學。
數學一方面在人類的文明史上享有巨大的聲望和榮譽，給我們的文明帶來了發展的動力和手段，另一方面卻也讓很多人感到自卑，並因此被人們厭惡。後者的結果當然不是數學本身的問題，甚至也不能怪那些學不好數學的人，主要是因為我們的教法有問題。我們沒有把學生當作未來的自由人來教，更沒有考慮到每個人的接受能力之間存在巨大的差異。
1.為什麼要學數學通識？
二○一七年，原央視主持人、今天頗有成就的媒體人請我和王渝生先生（原中國科技館館長、科學史專家）做一期有關數學的節目。在節目開始前，主持人問我，她高考時數學不及格，是否是學渣啊？我說，你能有今天這樣的成就，顯然不可能是學渣。數學沒學好，不是你的問題，恐怕是教學的方法和考量學生的方法不對。然後，我就告訴她美國頂級的高中和大學如何教數學。
美國最好的高中，會把數學由一門課變為八至十門內容不同的課程，每門課常常還要開設A、B、C三個難度不同的班。例如幾何學會被分為平面幾何A、B和C；立體幾何B和C；三角學B和C；解析幾何A、B和C；以及微積分先修課B和C等各種課程和班級。入門的那幾門數學課足夠淺顯。例如平面幾何的A班，講清楚幾何學的原理和用途，以及推理的方式就好了，根本不會讓學生做那些比較難的證明題。在幾何中，點、線、面、三角形、四邊形和多邊形等概念，以及平行、垂直等關係，其實對任何人都不難，任何學生只要別太偷懶，把這些搞懂了總是做得到的，這樣也就能在平面幾何A班得到好成績。
說到這裡，我問那位主持人，這些內容、這樣的教法，你總能考九十分吧？她很有信心地說：「那當然呢！」但是她又有點擔心地問我，如果是這樣的話，誰還會想上難的數學課呢？我說在美國申請大學的時候，如果別人成績單上有六門數學課，而且都是高難度的，而你只上了兩門數學課，還是難度最低的，大學錄取時當然會在數學上吃點虧。但是，由於你少學了數學，將時間用在個人更喜歡的文學和歷史，在這些方面多學了很多課程，在申請更適合自己的大學時，一定比學了一堆數學的人有優勢。更重要的是，雖然你上的數學課不算多，也不難，但好歹掌握了一些內容，相應的思維方式學會了，如果將來真想再學點，還是可以繼續學的。否則學了一大堆理解不了的、考試考不過的內容，不僅浪費時間，而且本來能學會的簡單內容也學不好。很多人因為做不出那些數學難題，打從心底放棄了數學，以至於很多簡單的數學知識也全忘光了。
把自己能夠學懂的數學學好，對每一個人都有巨大的好處。對於理工科或商科的學生來講，他們的感受可能會比較明顯，因為數學是自然科學以及許多學科的基礎。但是，對於學習人文和社會學科、甚至學習藝術的人來講，學懂數學也同樣有好處，因為它可以幫助我們培養起比較獨特的思維方式，看問題會比較深入，並且能夠把各種知識體系相互連結。
讀到這裡，細心的讀者可能注意到了，我剛才用了「能夠學懂的數學」的說法，而不是泛泛地談數學。這也意味著，對於數學通識教育來說，講什麼內容很重要。如果把人類的知識體系用學科劃分的話，數學可能是最龐大的一個，因此要想用一本書完整地介紹數學，幾乎是不可能的事。所幸，作為通識教育，讀者其實無須了解數學的每一個分支，更不須要掌握分支中最難的內容，甚至不須要聽說過那些分支名稱，因為數學的各個分支，從體系的構建到研究方法，再到應用方法，都是共通的。因此，我在選取本書內容時，完全是圍繞著一個明確的目標，也就是幫助大家了解數學的底層邏輯和方法。
對於已經走出校門若干年的成年人來說，再回過頭來接受數學通識教育的目的是什麼？其實只要能夠把自己對數學的理解從初等數學提升至高等數學，就足夠了。當然，很多人會認為，我在大學已經學了高等數學，怎麼能說我的理解還是初等數學的水準呢？學過高等數學的知識，和思維方式提升至高等數學的層次是兩回事。不信的話，你不妨問問自己，大學畢業後可曾用過一次微積分？如果一次都沒有用過，是否有其他的收穫？據我的了解，在學過微積分的人中，99%以上的人都覺得自己並未受益於這門課。那麼大家是否想過，為什麼大學一定要學習微積分呢？
其實在大學教授微積分是很有道理的，它能夠幫助一個年輕人把自己對世界、對變化、對規律的理解，從靜態的、孤立的和具體的層面，提升至動態的、連續的和規律性的層面。後文我會介紹導數、微分和積分這些概念時提到這一點。學完微積分後的十年，哪怕一道題都不會做了，也沒有關係，這種看待世界、處理問題的方法一旦形成、並變為習慣，你就比同齡人不知道要高出幾個層次了。做到這一點，才算是進入到高等數學的認知水準。對於即將進入高中的學生來講，更早從這個角度、帶著這個目的學習數學，效果肯定比背誦定理，再瘋狂做題目好太多。
如果我們把提升認知水準和掌握思維方法作為學習數學的目的，其實根本不須面面俱到地學習非常多的內容，重要的是透過一些線索將各種有用的知識貫穿起來、理解數學的方法，並好好利用那些方法。為了達到這個目的，我精心挑選了本書的內容，並且按照便於提升認知的方式，將它們組織了起來。
2. 書裡有什麼內容？
在基礎篇中，我們要講述數學是什麼？它和自然科學有什麼不同？人類在數學方面的認知又是如何發展的？當然，這樣空洞的講解沒有意思，我們需要一個線索、一些實例，將相關的知識和方法串聯起來，這個線索就是畢達哥拉斯（Pythagoras）。從畢達哥拉斯出發，我們會串起下面諸多的知識。首先自然是他得以出名的畢氏定理（Pythagorean theorem），也就是我們所說的勾股定理。書中會詳細分析為什麼東方文明更早發現了勾股數的現象，卻沒有提出這個定理。這件事可以幫助我們理解什麼是定理？以及如何發現定理？
畢達哥拉斯另一個了不起的成就是計算出黃金分割的值。從黃金分割出發，畢達哥拉斯發現了數學和美學的關係，並且開始用數學指導音樂。我們今天使用的八度音階，就始於畢達哥拉斯的數學研究。從黃金分割出發，我們就可以得到人們熟知的費氏數列（Fibonacci series），從這個數列入手，我們就能了解數列與級數的特點。
畢達哥拉斯可以講是數學史上的第一人，他開創了純粹理性的數學。但是畢達哥拉斯也有他的局限性——否認無理數的存在，這是他最被後人詬病的地方。說起來，無理數的發現恰恰是畢氏定理的直接推論之一，但是據說他對此假裝視而不見，還把提出這個問題的學生害死了。對此，今天很多人說他無知、頑固、拒絕接受真理等。其實這只是站在普通人的角度理解畢達哥拉斯的行為。如果我們了解這樣一個事實，即在當時人們所知有限的數學領域中，畢達哥拉斯是這個體系的教主，他需要這個建立在邏輯之上的體系具有一致性和完備性，而邏輯方面的一致性也是數學最基礎的原則。因此，當他發現無理數的出現會破壞他所理解的數學體系的一致性和完備性，並且動搖數學大廈時，他就採取了教主們才會採用的激進行為。畢達哥拉斯的錯誤在於，他不懂得維繫數學體系的完整性，還需要定義新的概念，比如無理數，而不是否認它們的存在。無理數的出現是數學史上的第一次危機，危機解決之後，數學反而得到了更大的發展，並沒有像畢達哥拉斯設想地崩潰。
從上述這些內容中，你會看到我們透過畢達哥拉斯，把數學中那麼多看似孤立的知識串聯了起來。透過這一篇，大家就能體會數學是什麼樣的體系？東方文明所發現的數學知識和完整的數學定理有什麼區別？一個定理被發現後，會有什麼樣的自然推論出現？然後又如何與其他知識體系聯繫，並且有什麼實際應用？
在數字篇中，我們的線索是數學中最基本的概念——數。你會看到這個概念是如何起源、發展並且被不斷地拓寬。透過人類對數字這個概念的認識歷程，你能體會到人類在思維工具上的進步——從具體到抽象，再到完全的想像。一個人對數的概念的理解程度，反映出他在數學上認知水準的高低。
照理說，我們的認知水準應該隨著所學內容難度的提升而提升，但是通常不是如此。在大學學習關於數字的概念時，很多人對數字的理解方式還停留在小學階段。例如，對於無窮大和無窮小的概念，很多人依然以為它們只是巨大的數字和極小的數字。事實上它們和我們日常遇到的具體數字不同，它們代表的是變化的趨勢和快慢。因此，從小學到了大學，大家對數字的理解就應該從靜態發展到動態，但是實際情況並非如此。
如果一個人用小學的思維方式學習大學數學的內容，一定會覺得非常難，這是很多人後來數學學不好的原因。但這不能怪罪於學習的人，因為很多數學課程都是把學生當作未來的工匠來教育，教給學生們的都是一些能夠讓他們更能好好幹活的知識。因此，當學生一旦發現某些知識和將來幹的活沒有關係，就直接放棄了，或者混個說得過去的成績就可以了，而不會想它和我認知水準的提高有什麼關係。反過來，如果我們放棄教授學生具體技能的目的，而是讓他們透過認識數字從自然數到負數、從整數到有理數、從有理數到實數、從實數到複數，最後從有限的數到無限的數，了解了此發展歷程，理解數學作為工具的作用，了解人類的認識從具體到抽象、從有限到無限的過程，就更容易掌握數學方法的精髓了。
隨後兩篇的內容集中在我們熟知的幾何學和代數學上。它們不僅是數學的兩大支柱，更重要的是，它們的發展歷程反映出了數學體系化的建立過程。
在幾何篇中，我們將重點放在幾何的公理化體系上，這是幾何學最大的特點，也讓幾何學成為邏輯上最嚴密的數學分支。透過幾何學的產生和公理化過程，你可以看到數學如何從經驗發展起來，逐漸構建成邏輯嚴密的知識體系。人類在搭建幾何學大廈時，先是有了一些直觀認識，然後從一些例子中總結出被稱為引理（lemma）的簡單規律，引理的擴展可能會導引定理（theorem）的出現。定理會有自然的推論（corollary），最後無論是定理或推論，都會有實際的應用，即便有些應用百年後人們才找到。這既是數學發展的過程，也是我們組織本書內容的思路。在以後的篇章也可以看到，微積分、機率論是如何從經驗變成公理化體系。尤其須指出的是，許多數學的應用並非都是直接的應用，它對其他知識體系具有借鑑意義，因此我們會講到數學公理化的體系對法學的影響。
