美國最受歡迎的數學教授、

《數學教你不犯錯》作者喬丹．艾倫伯格的最新大作，

以數學對現實世界進行深度的解析。

本書帶你邂逅新的幾何學：

流行病傳播的幾何學、混亂美國政治進程的幾何學、

職業棋士的幾何學、人工智能的幾何學、

英語的幾何學、財金的幾何學、物理的幾何學，

以及詩的幾何學。

「這本書怎麼可能這麼有娛樂性？這不合理啊！它揭示了幾何思維如何促成從更公平的美國選舉、到更好的流行病規劃。」―紐約時報

幾何學不是歐幾里得，早就不是了。它不是散發著教室氣息的文化遺產，而是一門活生生的學科，正以前所未有的速度前進。

這本書讓你邂逅新的幾何學。

包括我們正在經歷的COVID-19流行病的傳播。本書告訴你流行病傳播不是醫學，而是數學，更嚴格來說是幾何學。因此，該如何透過找出流行病的圖形，來理解每日染疫人數的變化，預估疫情高峰與結束的時間，並說明為什麼流行病的控制不追求完美主義？

還有美國式民主的政治進程，若不是運用幾何學的洞察，還真的不容易揪出背後的操作與不公平！作者舉他的故鄉威斯康辛州為例，說明共和黨人如何透過選區劃分，讓共和黨在國會中的席位屹立不搖，以此介紹了「傑利蠑螈」的存在。以及若沒有幾何學的抽絲剝繭，分辨其中政治操作的訣竅，還真容易遭到蒙蔽。果然只要改變選區的形狀，就能改變選舉結果！

作者更一一分析職業棋士的幾何學、人工智能的幾何學、英語的幾何學、財金的幾何學、物理的幾何學，以及詩的幾何學。原來，每個事物都有其幾何結構，數學不只是理性的分析和掌握，更是對於事物內在形狀的直覺感知和洞悉，幾何學可說是數學中最饒富興味、最感性的一支！

本書為《紐約時報》暢銷書《數學教你不犯錯》作者喬丹．艾倫伯格的新作，艾倫柏格本身為世界一流的幾何學家，在本書中顛覆我們對幾何的認知，開啟我們對幾何的嶄新力量的大門，讓我們對幾乎所有事物產生更深入的理解與認識。

過去兩百年間在教室裡的典型幾何學課程，是將歐幾里得當成博物館文物，那些證明是用來記憶、背誦、甚至欣賞的，一個人如何能想出這些證明完全沒被提及。但如今我們不再要求學生背誦歐幾里得，而是透過幾何學訓練學生養成嚴謹推理的心智習慣。但幾何學的意義遠遠超過這個。

　但凡科學、政治以及哲學問題背後都隱藏著幾何結構。在希臘文中，「幾何學」這幾個字具有「測量世界」的偉大含意，但這層意義低估了幾何學。事實上，幾何學不僅能測量世界，還能闡明世界。幾何學會問：物體的位置和樣貌如何？哪些事物彼此相近？你可以如何從一件事推出另一件事？這些都是重要的問題。

透過幾何學的眼鏡，不難發現以下問題都與幾何學息息相關：

•民主政治該如何選擇代表？

•該如何阻止傳染病席捲全球？

•電腦如何學習下棋？

•為什麼對電腦來說，學會下棋比學會閱讀要簡單多了？

•古希臘的黃金比例可以用來預測股市嗎？

•如果你的孩子想學會思考，該在學校裡學習什麼？

此時此刻，幾何學正在隨著人工智能，深入到我們生活的每一個面向，重新塑造我們居住的城市成為新興的幾何學都市。且讓我們穿透表面現象，看穿事物內在形狀，從而瞭解事物背後的運作。

名人推薦

好評推薦

專文推薦

洪萬生 (台灣數學史學會理事長)

「本書有關美國選舉制度及疫病（特別是 COVID-19）的數學問題（本書歸類為幾何學）之說明，一定可以讓關注或參與類似活動的博雅君子感同身受。中學教師也可以在課堂上引進這些例子及其說明，來強調數學並非遠在天邊的彩虹，而是就在我們身邊，與日常生活的推論密不可分。

因此，我要鄭重推薦本書。這是一部極成功的普及書寫作品（作者想必投注相當的心力），值得我們普及作家仿效，更值得教師引入教育現場，充當閱讀良伴。」

【各界讚譽】

出奇有趣的新書……《形狀》真的把幾何學變有趣了……以艾倫伯格的妙語如珠（以及他對19世紀美髯的欣賞），《形狀》的真功夫在於將幾何井井有條地化為文字。……對艾倫伯格來說，幾何不是逃離現實的去處，而是生命中的一股力量——可以用來為善或為惡，也可以用來玩味。幾何連結擴展了我們對世界的看法，以及真實與抽象之網。如同詩人瑞塔‧多芙所寫：「我證明了一個定理，然後房子變大了」。—Parul Sehgal, The New York Times

艾倫伯格的詳盡闡述，對數學中人性的探索，以及令人拍案叫絕的最終章，捍衛以公平及科學為基礎的民主，再再提醒我們，為何他是美國最受歡迎的數學教授。—Daily Beast

引人入勝、鞭辟入裡。—The New York Times Book Review

艾倫伯格從幾何的意義寫到幾何在現代社會中的作用，層面廣泛，眼界益發廣闊，文筆益發活潑。—The Telegraph

［喬丹‧艾倫伯格］維持了與前作一貫的魅力……幾乎人人都會喜愛艾倫伯格的文章和見識。—Harvard Magazine

將嚴謹的數學寫得深入淺出、妙趣橫生……一則則幽默的數學軼聞，引人深入數學理論之海。  —Kirkus

數學教授艾倫伯格（《數學教你不犯錯》）以輕快的筆觸，呈現深度數學對現實世界問題的解析……對數學感興趣的讀者對世界將有更深刻的瞭解。 —Publishers Weekly

《形狀》是數學著述中的得意之作，以流暢文筆及令人捧腹的幽默揭露深刻的真理——從距離的性質到隨機的可預測性——以及深刻的錯誤——從歷史的錯誤歸功到最高法院大法官的冥頑不靈。艾倫伯格對其主題及讀者的熱情洋溢筆端，使我們深感幸運，得以聽他以親切口吻娓娓道來他最喜愛的主題，數學。   —Cathy O’Neil, author of Weapons of Math

作者

喬丹．艾倫伯格 Jordan Ellenberg

威斯康辛大學麥迪遜分校（University of Wisconsin-Madison）數學系的維拉斯傑出成就教授（Vilas Distinguished Achievement Professor）。《紐約時報》暢銷書《數學教你不犯錯》作者。

譯者簡介

蔡丹婷

師大翻譯研究所畢業。坐過辦公室，當過英文老師，但還是最喜歡翻譯，最愛的是家人。極喜歡窩在家中推敲字句的日子，更喜歡透過不同語言接觸新知，夢想是能使用八國語言。過去二十年主要為HBO頻道及Discovery系列頻道翻譯字幕，譯有《綠手指聖經》。

目錄

推   薦 很難明白這其實很簡單 洪萬生 

前   言  物體的位置及其樣貌

第01章   「我投歐幾里得一票」

第02章   一根吸管有幾個洞？

第03章   不同事物、相同名字

第04章   人面獅身像的碎片

第05章   「他的風格是無敵」

第06章   試誤的神祕力量

第07章   人工智能登山學

第08章   你是你自己的負一層表親及其他地圖

第09章   三年的星期日

第10章   今天發生的事明天也會發生

第11章   可怕的增長率

第12章   葉中之煙

第13章   空間的皺摺

第14章   數學如何破壞民主（又如何加以挽救）

結   語   我證明了一個定理　然後房子擴大了

誌謝

注釋

圖片來源

序／導讀

推薦文

很難明白這其實很簡單

洪萬生 ( 台灣數學史學會理事長 )

本書作者喬丹．艾倫伯格在他的前一本普及書籍中，深入淺出地說明「數學教你不犯錯」，現在他的科普對象擴大成無所不在的「幾何學」，譬如「流行病傳播的幾何學、美國混亂政治過程的幾何學、職業棋士的幾何學、人工智慧的幾何學、英語的幾何學、財金的幾何學、物理的幾何學、甚至詩的幾何學」。儘管這些都是資訊、生物、策略、民主和所有事物背後隱藏的材料，就其繽紛多元的表面現象來看，的確有令人難以下手之處。然而，艾倫伯格在本書的論述與敘事，卻足以印證他對於「機器學習」vs.「人類學習」的（「先天」）強烈對比所給出的評論：「很難明白這其實很簡單」。當然，這句話是針對機器學習而發。

以著名的奇偶問題—也就是判斷X與O組成的字串中X的數量是奇數還是偶數為例，「標準的神經網路建構都把這題目學得很糟」。還有，如將機器學習應用在目前極夯的自駕車上，那也讓我們不無憂心。艾倫伯格的評論值得引述如下：「自駕車也許有95%的機率能做出正確選擇，但這不代表它在往永遠做出正確選擇的路上已走了95%；剩下的5%，也就是那些異常情況，也許正是人類散漫的大腦，比任何當前或近期可能出現的機器，更善於解決的問題。」

或許散漫的大腦更有品味，至於專擅演算法的機器則是完全「不解風情」。這應該也部分解釋了何以本書所引述的西洋棋冠軍拒絕與機器下棋。這是因為儘管「樹形幾何告訴你如何能贏；但不能告訴你是什麼讓一場遊戲變得美麗。那是更奧妙的幾何學，目前還不是電腦能依靠短短幾條規則一步步推出來的」。

當然，奉機器學習為圭臬者可能懷疑莫非艾倫伯格這個數學書呆子之淺見。不過，他就學哈佛大學期間，師承名師馬祖爾（Barry Mazur）主修代數數論，但是卻在研一下學期，選修了從魔術師變成哈佛數學系教授的戴康尼斯（Persi Diaconis）之「洗牌幾何」課程，可見他並非不食「人間煙火」。事實上，在本書第十四章，我們看到他發現「數學如何破壞民主（又如何加以挽救）」，其中更值得注意的，是他對於民主（或反民主）運作的投入瞭解，試圖運用很簡單的數學，解剖政黨競爭的爾虞我詐（他教職所在的威斯康辛州恰好就是「惡名昭彰」的搖擺州）。另一方面，在本書中，他也使用了許多篇幅，說明諾貝爾獎得主羅斯醫生如何利用隨機漫步過程來模擬蚊子的飛行，從而類比到疫病的傳播時間與路徑。「只要蚊子的密度夠低，魔法數字R0就會降到1以下，也就代表病例數會一週比一週少，疫情也會呈指數衰減。

你不必防止所有的傳播；只要防止足夠的傳播就行了。」因此，針對目前還正在肆虐全球的 COVID-19，他的建議與許多專家的看法一致：「我們不需要追求零擴散，雖然這樣當然很好，但不太可能。流行病的控制並不追求完美主義。」

最後，回到本文的主題。我想數學普及作家向讀者介紹很多高度抽象數學甚至只是一般數學知識時，也經常「很難 ( 讓人 ) 明白這其實很簡單」。這個難度涉及作家的數學洞識，有時還需輔以數學史洞識，至於敘事素養則更是不可或缺。本書作者學養博雅，又常能在卑之無甚高論的大眾問題日常中，發現極有意義的數學問題（譬如氣球戳破後有幾個洞？），再加上他擁有創意寫作的專業訓練，同時又十分關注數教育改革議題，因此他在書中總能適時地分享極有價值的點滴心得。譬如，論及海龍公式（本書譯成希羅公式）時強調：「長度的守恆暗示了三角形面積的守恆，因為兩個三角形如果邊長相等，就意謂著這兩個三角形全等，因此有同樣的面積；或者你可以運用亞力山卓的希羅那道優美古老的公式，那告訴你如何以邊長表示面積。」類似這樣的觀察，當然也可充實中學數學及通識教學內容。

再有，本書有關美國選舉制度及疫病（特別是 COVID-19）的數學問題（本書歸類為「幾何學」）之說明，一定可以讓關注或參與類似活動的博雅君子「感同身受」。中學教師也可以在課堂上引進這些例子及其說明，來強調數學並非遠在天邊的彩虹，而是就在我們身邊，與日常生活的推論密不可分。

 因此，我要鄭重推薦本書。這是一部極成功的普及書寫作品（作者想必投注相當的心力），值得我們普及作家仿效，更值得教師引入教育現場，充當閱讀良伴。最後，我要引述作者對〈美國獨立宣言〉的備註，作為我這篇「掛一漏萬」的推薦文之結語：

「我們認為下面這些真理是不證自明的」不是傑佛遜的話；他的獨立宣言第一版草稿寫的是「我們認為下面這些真理是神聖而無可否認的」。

是富蘭克林刪去幾個字後換成「不證自明」，使得這份宣言少了些聖經味，多了點歐幾里得味。富蘭克林刪得好！「神聖而無可否認」vs.「不證自明」當然有著強烈對比，然而，「細節」之於風雅，或許就是本書作者關注之所在。