★韓國YES24 & 教保文庫暢銷書，是韓國近年來少數受到高度推崇的「數學書」。

★內容豐富、有趣！把數學家的思考邏輯寫得親民好懂，不是在教數學，而是帶領讀者用數學「跳脫框架」。

★本書作者是數學教授，透過講座和書寫推廣「生活化數學」，致力讓文科生、一般民眾都能更懂數學。

「如果我國中的時候就看過這本書，應該會表現得更聰明，生活得更輕鬆吧！」

備受推崇，連文科生都大嘆相見恨晚的數學思維書！

明快做決策、聰明解決問題、發揮卓越想像力……都少不了數學思考力！

本書集結了各種令你大感意外的數學趣味和故事，

讓你沉浸在解決問題的喜悅之餘，還能獲得全新的領悟！

【】

˙畢達哥拉斯本身是一名里拉琴高手，也十分重視音樂價值，更是史上第一位將數學語言轉化成音樂的人。

˙據聞愛因斯坦設計了一個「愛的方程式」，並且解釋說：「不得已離開無法不走的路，而深感遺憾地回首的心！即使是條走不了的路，卻不由自主跟著走的殷切的心！那顆心就是愛。」

˙俄羅斯的數學家裴瑞爾曼證明了世界七大數學難題之一的「龐加萊猜想」。他對自己達到的成就不求報償，拒絕了100萬美元的獎金，以及大學教授職位和被譽為數學界諾貝爾獎的菲爾茲獎。他說：

「我在追尋宇宙的祕密，又怎麼會迷戀100萬美金呢？」

˙2020年的美國總統大選，拜登透過《動物森友會》在虛擬世界進行競選演說；BTS防彈少年利用線上遊戲《要塞英雄》演唱新歌〈Dynamite〉……

˙許埈珥23歲才對數學用心，39歲拿菲爾茲獎、解決了11道數學難題，是許多數學家努力一輩子也無法企及的成就。而他的研究將對未來100年間IT和AI領域的發展帶來極大影響。

數學比我們想像中的更貼近生活，

而且，我們也比想像中的更常像數學家一樣思考！

日常生活中會遇到無數的數學問題，買東西、計算遊戲積分、給盆栽澆水、做飯、計算汽車耗油及從家裡到目的地的出發時間……這也是為什麼數學對於我們理解世界、感知情況和做出決定有如此大的影響。你對數學了解得越多，大腦運轉的速度就越快，也能越快地做出決定並清楚自己所做的選擇。而這本書是最好的數學思考練習指南，能幫助我們：發現看不見的事物的能力、分析日常，建立深刻領悟、拓展想像力，精準提問、轉換想法，整合應用！
全書介紹從古代數學家畢達哥拉斯、歐幾里得、費米、高斯，到現代數學家希爾伯特等人不同的33個數學思考。只要想沉浸在思考遊戲的人，誰都可以從中獲得樂趣，並且感受到在其他方面不曾有過的嶄新喜悅。

從此愛上數學！

這是一本深入且引人入勝的數學指南！不論你是數學無感者、初心者，或自認為數學資優的強者，閱讀它都能讓你重新發掘數學的魔力；更酷的是，你將自然而然的地開啟「數學家思考技能」。書中包含傳奇數學家的小故事，幫助讀者探索與想像不同的可能性。我由衷推薦你閱讀這本精采的書，並一同釋放你的數學魔力！──洪瀞　《自己的力學》作者、大學老師、雙寶爸

數學既深奧又神祕，「為什麼要學數學？」是很多人的疑問，也許可以從知名的數學家身上找到答案，《畢達哥拉斯的思考課》介紹幾位有名數學家的思路，他們是如何善用數學思維促使社會進步，而你該如何面對不擅長的數學，這本書提供了很好的做法。──數學老師張旭　〈張旭無限教室〉創辦人

★Yes24網友5顆星好評：

本書不是要你變得擅長數學，而是要你「像數學家一樣思考」

這本書引領我們重新思考數學。沒有盲目死記硬背的公式，而是展示了那些讓我們頭痛的困難公式是如何存在於我們的生活中。即使看不懂公式也不影響閱讀。

巧妙敘事法很能說服恐懼數學的人解除武裝

本書以通俗易懂的方式引導讀者了解數學如何影響我們的生活。透過現實生活中遇到的問題，可以喚起學習數學的動力，而且作者的巧妙敘事法很能說服恐懼數學的人解除武裝、激發人們挑戰本來感覺有難度的數學學習熱情。

數學是一種發現問題的工具

刑事偵查採用的指紋分類、圖書館書目分類、郵遞區號分類，這些都是生活中的數學。像我這種不擅長數學思考的人，透過本書也可以培養出數學眼光，開闊眼界和思路，幫助讀者以全新的視角進行更豐富多元的思考，我強烈推薦本書。

學生時代就正確地學習數學，是否可以更明智地生活？

閱讀本書時，我重新意識到數學思維對於生活在這世上是絕對必要的。希望學校不要一味地教數學公式，把學生變成解題機器，只讓他們精通解題。我認為，如果學校發揮作用，教授學生正確的解題原理，培養學生運用原理有創意的解決問題能力，在出現難解問題時自然不會驚慌失措。

名人推薦

[專家推薦]

洪瀞　　 《自己的力學》作者、大學老師、雙寶爸

數學老師張旭　〈張旭無限教室〉創辦人

盧希鵬　　台灣科技大學資訊管理系教授

畢德歐夫　投資理財作家

作者

李光淵（이광연）

韓國成均館大學數學博士。於美國懷俄明州立大學完成博士後研究，曾任美國愛荷華大學客座教授。現於韓瑞大學數學系執教，並參與了2007、2009、2015年修訂課綱之國、高中數學課本的編寫。致力於扭轉眾人對數學的既定印象，不再視為是為了成績和升學的手段，以及是一門只要走出校園後就毋須再了解的學科。為達使命，除了教學之外，更透過寫作和演講導入歷史、神話、電影、藝術等各個領域中的數學原理，以宣揚數學之於我們的生活有多麼的密切相關。

已出版著作有《去美術館的數學家》《有趣的數學》《餐桌上的數學》《神話中的數學》《數學三國志》《數學家的戰爭》《創造這美妙世界的數學》《李光淵的數學部落格》《世界史背後的數學檔案》等。

譯者

楊嬿霓

1994年出生於美國加州，曾浪跡美國、日本，也短居過台北的高雄人。熟悉英、日、韓文，並熱中於經歷和延續各國文化及語言間的相遇。擔任過編劇、公司翻譯等，現為身兼多角色的自由文字工作者、譯者。

目錄

前言　像數學家一樣思考會帶來的好處

第1章　思考問題，發現看不見的事物

01.將世界看作問題的視線──旅行推銷員問題

02.有時推測能解決問題──費米推論

03.理解過去的，才能明白新的──溫故而知新

04.將80億個想法統合為1的能力──縮小

05.超越點、線、面，朝向N次元──擴張

［講堂］ 畢達哥拉斯的傳奇

第2章　思考理論，分析日常

06.將日常根據問題類別區分──記號與分類

07.防彈少年團也利用的元宇宙──點陣圖和波形音訊

08.天才數學家的思考──連結與構造

09.像高斯一樣做邏輯思考──思考的路線

［講堂］畢達哥拉斯弟子必須通過的考驗

第3章　思考創意，想像並提問

10.從拉馬努金的車牌遊戲聯想──倍數

11.星星有多閃亮呢？──平方反比定律

12.隱藏在瓶蓋裡的角度──因數

13.生理節律是真的嗎？──最小公倍數

14.60甲子的祕密──進位法

15.找出問題中隱藏的共同點──排列

16.無限反覆會成為什麼呢？──碎形

［講堂］為何220和284是朋友，6和28是最棒的建築師？

第4章　思考發明，轉換想法

17.發現配對的想法──對應原則

18.偉大的數字0，「無」的發明──數

19.古印度有趣的畫線乘法──乘法

20.古埃及人如何使用分數？──分數

21.歐幾里得正確也不正確──幾何學

22.金字塔的完美幾何圖──作圖

23.愛因斯坦的愛情方程式──拓撲學

［講堂］畢達哥拉斯的格言

第5章　思考學習，從基礎到擴張

24.基礎扎實才算學會──數理能力

25.為何對數學心生恐懼？──計算能力

26.學數學需要什麼素質？──抽象化

27.學好數學的意外方法──理解能力

28.得一知十──規則性

［講堂］畢達哥拉斯的數學觀點

第6章　思考活用，像數學家一樣思考

29.囚徒困境與膽小鬼賽局──應用數學

30.人腦輸給AlphaGo的原因──蒙地卡羅搜尋法

31.輕鬆預測人口數的方法──指數函數

32.平面能完全填滿嗎？──希爾伯特的問題

33.數學的未解決事件──黎曼猜想

［講堂］畢達哥拉斯是西方文明的思想領袖

後記　沒有數學，人類的文明無法前進

序／導讀

〈前言〉

像數學家一樣思考會帶來的好處

人類在地球生態系中位居最高位的理由是什麼呢？生長在地球上的無數動植物中，為何偏偏只有人類能造就文明呢？

動植物都在自己所屬的世界依本能努力活著，根據自然定律進食、睡覺、休憩和繁衍後代，人類也一樣；然而我們與它們的不同之處，在於我們有「思考行為」之實。

人類的思考並非受限於一定框架、只能守著無法越線的封閉思想，而是超越宇宙到無窮遠的非常廣闊且自由的思考；這就是「思考的自由」。要實現思考的自由大致有透過文學和哲學這兩種方法。由於前者大部分較主觀，所以能透過閱讀、理解並發展的共同範圍很有限。

為了享受廣泛思考的自由，我們必須將焦點轉換到哲學上。當然，哲學也受主觀影響，但大部分是任何人都能產生共鳴並認同的相對客觀的內容。也就是說，為了使他人能理解自己的主張並產生共鳴，有邏輯的表述在哲學中必不可少。這時，我們所需要的就是「數學思維」，也就是「數學家的思想」「數學家的思考方式」。

常聽人們說：「學數學很傷腦筋啊」，也聽過有人問：「到底為什麼要學數學？」還有不少人會反問：「就是啊，幹嘛學那麼難的東西？」並補上「想上好的大學就得會數學。」但這些都是不了解「真正自由」的發言。

我們究竟為什麼要學數學呢？為何要學習數學的問題已經存在很久了。讓我們從西元前300年左右，撰寫了不朽經典《幾何原本》的古希臘數學家歐幾里得和他弟子的對話來一窺究竟吧。

弟子：「老師，學習幾何學之後會得到什麼？」

歐幾里得聽了，便交代身邊的僕人說：「給他幾枚硬幣吧。因為他總想從學習中獲得好處。」

大約過了2300年後，類似的事件又發生了。俄羅斯的數學家裴瑞爾曼證明了世界七大數學難題之一的「龐加萊猜想」。他對自己達到的成就不求任何報償，拒絕了證明此難題時可獲頒的100萬美元獎金、頂大的教授職位和被譽為數學界諾貝爾獎的菲爾茲獎。人們問他理由，他這麼回答：

「我在追尋宇宙的祕密，又怎麼會迷戀100萬美元呢？」

歐幾里得和裴瑞爾曼肯定是認為「數學的意義在於發現世界的祕密和隱藏的真相，而不是為了獲得其他什麼的工具」。可見對他們而言，數學純粹只是探求真理的媒介，而且學習數學的目的無法用其他來取代。

事實上，數學一直都在引領人類文明的進步，這都是因為有了數學家們的數學思維和成果才得以實現。但即便是科技發達的今日，人類未知的領域和等待發掘的事物仍然無窮無盡。

數學家牛頓說過：「在我眼前，仍有一片懷藏著未被發掘真理的廣闊大海。」

從人類開始建立並發展文明的很久以前，到現今的第四次工業革命時代，數學不停地發展並持續有新的發現。在這個過程中，人類文明製造了必須解決的問題，而在許多情況下，數學成了解答。

多虧了文明和數學的相互作用，我們製作地圖、發展航海術並和各國交流至今。我們使用了收音機、電視、電話、電腦等，而且終於預計在不久的將來，將和搭載人工智慧的機器人一起生活─數學使現代文明合理運作並發展，而且是提供活在21世紀的我們創造性邏輯思維的基礎。

不論我們想不想要，或感不感受得到，數學家的思想促使人類文明發展，並形成了不斷挑戰未知世界和克服逆境的生活方式。這樣的數學思維絕不是專家的專利。數學從很早以前就存在我們的日常生活中直到現在，並仍持續不斷發展。數學思維的發展和繼承，正是我們學習數學的理由之一。

數學不是只有頭腦好的人才能學習，只要能做簡單、有邏輯的思考，誰都可以學習數學。另外，只要是想享受思考遊戲的人，誰都可以學習數學。當然，只靠數學無法大幅增加思考力，但若想在培養思考力時藉著有邏輯的方法和發想的轉換來增加思考的廣度，數學是最好的選擇。當你從數學中找到真理時，你能感受到在其他地方都無法獲得的嶄新喜悅。

偉大的數學家畢達哥拉斯是第一個自稱「哲學家」的人；他所謂的哲學家是「愛智慧的人」。若根據畢達哥拉斯的說法，哲學家為了做哲學，最先必須學習的正是「數學」。他要求他的所有弟子都必須學習數學，而最終，畢達哥拉斯自己的所有哲學也都建立在數學之上。

雖然我們沒辦法成為畢達哥拉斯和他的弟子，但若想依他的主張成為愛智慧的人，那麼至少現在起，得要認識數學。比起想成是學習數學，若將這視為是「思考的學習」，那麼數學會變得很有趣。

像數學家一樣思考有很多益處，能將世界上複雜的問題單純化，也能讓模稜兩可的情況變清晰，更可以一次獲得用數字看世界的趣味、做數學思考帶來的領悟，甚至還有觀察人類文明的過去、現在和未來的新視角。

因為世界上的一切都是由數組成，畢達哥拉斯主張「萬物皆數也」。在此期許我們所有人都能獲得如數學家看世界的新思維。

試閱

01. 將世界看作問題的視線──旅行推銷員問題

人們大多認為「數學」是為了解決問題的工具。但與其說「為了解決問題」，數學更像是「為了找出問題的工具」；數學家不是「解決問題的人」，而是「製造問題的人」，因此也有人戲稱數學家是「問題兒童」。

儘管如此，數學家並不是什麼問題都製造。人活在世上，不得不面對現實中難以解決的問題。為了解決這類問題，數學家將生活遇到的問題轉換成數學，再將變換後的數學問題套回現實並予以克服。所以說，數學家是「解決問題的人」。然而，煩惱著尚未出現在這世上的各種情形和問題，並設法找出解答的「製造問題的人」也是數學家。而這類「被製造的問題」儘管多半是經由理論並設定條件所提出的，確實也有不少解決了短則十年、長則幾百年後出現的困難。舉例來說，出現在13世紀前半的「費波納契數列」（費氏數列），不僅在大約700年後的某一天解說了自然現象，更被活用在電子通訊等尖端科技上。再舉一個更貼近生活的例子；

雖然現在幾乎銷聲匿跡，但過去曾有過直接登府拜訪消費者並販賣各種商品的推銷員。假設某化妝品推銷員要從公司前往消費者的家中拜訪並販賣商品，然後再回公司結算業績。

此時，因為推銷員要在不重複的前提下拜訪多戶人家，並不漏掉任何一戶地返回公司，所以必須找出既能拜訪所有消費者住處、交通花費又最少的最佳路線。若將數學應用於此，就能找出推銷員在訪問每個地點一次後，回到原起點、費用最少的移動順序。

上圖中，以線條表示連接公司和三處消費者住家的道路，並假設線上所標示的數字為兩地點間的交通費。那麼推銷員從公司出發後，第一個能去的地點有三處；第二個能去的地點有兩處，最後要去的住家只有一處；因此，推銷員從公司出發，拜訪完三戶人家後回公司的方法數共有3×2×1=3!=6種，再從6種方法中選出交通費最低的，就是最有利的移動法。推銷員實際可走的6種情況和其對應費用（距離）如下：

①公司→住家1→住家2→住家3→公司=100+200+200+400=900

②公司→住家1→住家3→住家2→公司=100+300+200+200=800

③公司→住家2→住家1→住家3→公司=200+200+300+400=1,100

④公司→住家2→住家3→住家1→公司=200+200+300+100=800

⑤公司→住家3→住家1→住家2→公司=400+300+200+200=1,100

⑥公司→住家3→住家2→住家1→公司=400+200+200+100=900

各位若是推銷員的話，會選擇上方6條路徑中的哪一條呢？想必會選費用最少的②或④吧。

推銷員只需訪問三處住家的話，或許還能一一計算，但若是要訪問的住家變多的話，能走的路線數便會隨之增加。舉例來說，若有4家，可能的路線數就會是 4!=4×3×2×1=24種；若有5家則是5!=120種；那麼要是有10家，將要拜訪的路線數就足足有10!=3,628,800種。光是10家，要在一天內全數拜訪完畢，想一一用手計算、找出最有利的路徑簡直是天方夜譚。這個時候，就需要數學了。

我們可以把上述的例子稱為「旅行推銷員問題」，若以數學的圖論表示的話，會是：

．在各邊標有權重（weight）的完整圖形中，找出最小值的漢米爾頓迴路（Hamiltonian Circuit）。

在今日，旅行推銷員問題可活用在快遞送貨員要出發送貨前確認目的地，或是跑外勤的職員一早計畫移動路線。多數快遞員並不會根據送貨量用數學方式計算路線，但會在腦中想好一天內要以什麼路線送貨，再根據自己的想法一處一處去跑。雖然沒經過精算，所選的路線也不是最短最省時，但實際上仍在無意間使用了數學。

旅行推銷員問題比我們所想的更常被運用在日常生活中。例如，各位需要從家裡出發，再拜訪多處後返家時，就能套用旅行推銷員問題，以最快、最短路徑完成拜訪，然後返家休息。

若想搭乘公車旅行全國，也能利用這套方法將時間和費用壓至最低；另外，它也能被活用在地鐵、市公車路線、城市的瓦斯管線和水管等的規畫配置上。

若是把旅行推銷員的演算法套入使用黃金等稀有金屬的各種電子電路上，則能減少線路長度、用最少的貴金屬，進而節省材料費。

像這樣將日常的問題「用數學解決的想法」就是「數學思維」。數學即是將這類現實問題轉換為數學問題，再透過找出該數學問題的解決方法，使原本給定的現實問題能獲得解決；數學能提出要解決現實困難所需的最佳問題並加以解決。像這樣的所有過程都是數學思維，而擅長數學思維的人也就擅長數學。

不少人稱數學是和現實生活八竿子打不著的學問，更針對數學說：「只要會算錢就好，幹嘛要學那麼難的東西？」但實際上數學和我們的生活密不可分，而且從古至今累積的眾多數學理論和公式，確確實實一點一滴地改變我們的生活。市區商圈分析、能源效率優化、電子交易個資對策、股價和匯率、油價預測及人工智慧和大數據等，活用範圍無限廣。

畢達哥拉斯也主張「萬物皆數也」，對他來說，數學是必須學習的領域。他在培育弟子時也運用數學進行教學。畢達哥拉斯相信，「數能領悟永遠不朽的型態，並擁有領導靈魂的力量」。

越來越多公司開始擴大活用數學，不論是金融、能源或製造業，各個領域的公司都在找數學家。特別是進入第四次工業革命時代，在與AI機器人競爭下，人類能比它們做得更好的領域正是數學，也因為這樣才有不少學者宣稱「未來是數學戰爭的時代」。

要如何才能像數學家一樣思考並擅長數學呢？讓我們一同前往數學的世界探險吧！

09.像高斯一樣進行邏輯思考──思考的路線

很多人都認為數學是很難的科目。其實數學只要靠邏輯思考就能簡單得出答案，但覺得數學困難的人，多半真正討厭的是「邏輯思考」。若凡事不管三七二十一就喊難，那麼這世界上的一切就都無法獲得解決了。讓我們用一個簡單又富數學概念的例子來看看什麼是有邏輯的思考方法吧。

若要將一塊正方體的豆腐切成27個大小和形狀皆相同的小正方體，請問「最少需要切幾刀？」

那要怎麼回答呢？

只要稍微想一想，就能輕易知道答案是6次。

但，要是問起「為什麼最少要6刀呢？」

這個問題就不再單純是有趣的謎題，而是數學問題了。

維持相同形狀與大小進行切割時，豆腐中央生成的正方體狀的小塊豆腐有6個面，但它的每1面和切割前正方體外壁的任何一側都不共面；即，中間小正方體的各個面都必須用刀切割才會生成。因此能切出小正方體6個面的下刀 次數正是6次。

讓我們來看一個關於邏輯思考方法的有趣小故事吧。

某座村莊裡住著一位貧窮的農夫，他有個相依為命的漂亮女兒。由於連年乾旱導致耕作收成慘澹，農夫為了生活，不得不向村裡的富人借款，好不容易撐過一年。沒想到，第二年情況並未改善，農作物仍然歉收，農夫只得再去找那位富人借錢，但富人卻因為前債未還而不肯再借。在農夫不斷拜託下，富人於是提議和他打賭，要是農夫贏了，債務就一筆勾消；相反的，要是農夫輸了，他的漂亮女兒就必須抵押給富人。走投無路下，農 夫只好跟富人對賭。富人提議的打賭內容如下：

「這裡各有一顆黑石頭和白石頭。把它們放進袋子裡，然後請你的女兒拿出一顆。要是你女兒拿出的是白石頭，那麼去年借的錢不僅不用還，我今年還可以再借你；但要是你女兒拿出的是黑石頭，你必須馬上還錢，而且，你美麗的女兒要送給我當僕人。」

這名心懷不軌的富人，趁農夫沒注意時，偷偷地把兩顆黑石頭放進袋子裡。但就算是這樣，農夫的女兒還是贏了賭注。她是怎麼辦到的呢？農夫聰明的女兒這麼說：

「要把手伸進袋子裡我會害怕，我就從外面選一個吧。」

農夫女兒從袋子外面抓住一顆石頭，然後快速地把袋 口往下反轉，於是一顆黑石頭就從袋子裡掉了出來。農夫女兒見狀就說：「因為是黑石頭掉到地上，所以我選的肯定是白石頭囉。」

富人便因為農夫聰明女兒的機智回答，不僅拿不回前次借款，還要再多給一筆，實在是偷雞不著蝕把米。

數學就是這麼單純好懂。但因為我們從小就接受比起理解和邏輯思考，更強調記憶和熟背的填鴨式教育，導致任何問題都想透過「背公式」來解決。大部分覺得數學很難的人，正是因為使用了這種方法。若想學好數學，你需要培養邏輯思考的理解能力，而不是死記硬背。

為了培養數學的邏輯能力，就需要「思考的線路」，這是將理解單一部分的過程，連結至其餘部分以達到更進一步理解的過程。我們學習數學的眾多理由之一，正是為了擁有能找出相連結思路的智慧。

必須學數學的另一個理由，是為了培養「理性看待世界的能力」。被我們視為理所當然的世上所有事物，都藏有不變的某種規則。我們為了培養出能用邏輯或理論適當說明這些規則的能力而學習數學。當然，除了數學外的自然科學或人文、社會科學也能找出這類規則並做合理說明，但無法像數學一樣準確表示；因為其他領域多少含有一些主觀想法，但數學只承認誰也無法不認同、完全客觀的事實。

若無法好好理解世界上隱藏的規則，人類可能會毫無發展。從很久以前開始，只要有文明發展的地方，就有以數學思維觀察自然或現實生活的想法萌生；我們透過數學思考一步步理解世界的邏輯。而所謂的數學思考，指的是找出某個問題答案的邏輯過程。再舉個例子：

這是擁有「數學王子」暱稱，和阿基米德、牛頓同獲推崇為三大數學家中的德國數學家高斯10歲時發生的事。

高斯的老師為了偷閒，出了一道很難的數學問題給學生，即從1加到100。其他學生用1加2等於3，然後再加3等於6，然後再加4等於10……的方式計算了很久；但高斯卻不一樣，他很早就寫下5,050，然後雙手抱胸坐在位子上不動。在看到答案的瞬間，老師就察覺到高斯的天賦。高斯是如何快速解答的呢？

高斯發現老師提出的問題中藏有一定規則；換句話說，他並沒有和其他學生一樣從1開始按順序相加，而是發現了將1和最後的數字100相加後得101、2和99相加也得 101、3和98相加也是101……的事實。若照這樣加下去，共會有50個101，所以高斯得出1加到100的總和是 50 × 101 = 5,050這個非常簡單的正確答案。

高斯活用了用來推導求任意等差數列和公式時使用的 「等差數列的對稱性」，解決了這個問題。

高斯運用了有數學邏輯、合理的方式思考。尤其，在數學中很需要經過一一了解的過程，並將其連結至其餘部分以達到理解的思考線路。我們學數學的理由正是為了擁有能找出像這樣相連結的思路的智慧。

每個人都能用數學思維去思索世上的事，並找到思考的線路。現實生活中，因著需要而出現的數學，有如絲繩般將我們複雜的想法綁成一束的功用，並扮演著使生活能安立於有結構的框架中的角色。

因此，不單純是要學習數學，而是要透過用數學思維觀 察並解析事物的現象，來培養合理且有邏輯條理地解決現 實生活中各種問題的能力。

[講堂]

畢達哥拉斯的數學觀點

畢達哥拉斯是第一個使用「哲學」（Philosophy）一詞的人，意思是愛智慧；同時，他也是第一個將自己稱為「哲學家」（Philosopher)的人。他稱哲學的目的在於「將思想從自己所設的界限中解放出來」，並使用以下奧林匹克運動會的比喻說明了真正的知識為何。在奧林匹克運動會有三種層次的人們聚集。最低層次的是在奧運期間做生意賺錢的人，他們只追求自己的利益；其次是作為選手參加奧運的人，他們炫耀自己的力量並汲於名譽；畢達哥拉斯認為層次最高的，是前去觀看奧運比賽的人，他們觀賞周邊風景和體育賽事，分析、討論及反思正在發生的事，並試圖理解自然和藝術之美。像這樣，在奧林匹克運動會有形形色色的人聚集，有些人追求榮華富貴，有些人追逐力量和權位，而最純潔、最真摯的是追求知識的人─畢達哥拉斯稱這樣的人為哲學家。畢達哥拉斯認為，在做哲學時最重要的是「數學觀 點」。他將數學觀點分為四類，並做了以下的介紹。

「算數、音樂、幾何學以及天文學是智慧的基礎，順序 為1、2、3、4。」

根據畢達哥拉斯解釋：算數是學習數本身；音樂是從時間學習數；幾何是從空間學習數；天文學則是從時間和空間學習數。畢達哥拉斯以這樣的想法為基礎，製成了教授弟子用的教學課綱。教學課綱以算數為首，並發展至音樂、幾何 學、天文學、神學、醫學和政治學。同時，他也教授作為學習上述知識所需基礎的邏輯學、分析學，還有語源學。

在所有課程內容細項中，畢達哥拉斯只強調學習本身的重要性。他重視發展理智的努力，並針對比財富、權利、 名譽、美貌以及體力等更具價值的知識，論及了以下六項 優點。

第一、因哲學家所發現的真理是人類的共同財產，所以知識不僅能為個人帶來益處，也對社會有益。

第二、我們如果沒有知識，就無法享受其他美善事物的 益處。

第三、知識無論怎麼使用或和他人分享，都不會減少。

第四、平凡的人會因為出生環境和資質而難以靠近財富 或權利，但知識沒有限制。

第五、和即使細心照料，死後依然會腐爛的人類肉體不 同，知識會透過我們的人生綻放不滅的火花。

第六、知識使我們總能為他人服務。

畢達哥拉斯主要使用具有隱藏含義的文句和需要複雜層次解釋的謎語，以象徵性的方式將知識傳授給弟子們。他的弟子為了理解如猜謎的教學內容做了很多努力，有時透過與他的問答和對話，有時則透過獨自進行對各種含義的冥想。