打破數字的迷思,挑戰對數據的信任!
拋棄傳統數學的枯燥定義,
透過生動的實例和故事,
在輕鬆愉快的閱讀中掌握機率與統計的基本概念。
▶機率的世界
機率的概念被引入,從生死的抉擇到硬幣的翻飛,讀者將了解機率如何影響我們的日常生活。透過條件機率的例子,如門後的老山羊與豪車,深入探討獨立事件及全機率公式,揭示了英超冠軍爭奪戰中的機率奧秘。
▶隨機變量與其特性
期望與變異數在百變骰子的例子中得以清晰展示,大數法則則被莊家的信條所詮釋,說明了隨機變量在長期觀察中的穩定性。
▶從樣本到總體
統計學的基礎在於從樣本推斷總體。讀者將學習如何從有限的樣本數據推斷總體特徵。透過頻率、平均數與中位數,致敬「黑曼巴」Kobe Bryant,深入理解變異數與標準差的意義。進一步探討平均數與變異數估計,讓讀者掌握近射與狙擊的精髓。
▶分布的奧秘
從統計學的「九九乘法表」到等機率分布的硬幣兩面,幾何分布中的一次性事件,二項分布中的多次擲骰子,帕松分布中的神奇常數e,正態分布的完美曲線,以及指數分布中的「二八」與「長尾」,每一種分布都展示了不同的隨機現象及其應用。
▶假設檢定與其應用
從主場優勢的現象出發,分析規律與假象的區別。讀者將學習如何透過假設檢定來驗證主場優勢的存在,並運用反證法進行無罪推定的思考。
▶貝氏定理的力量
從牧師貝氏的理論到賭神貝氏的實戰應用,讀者將了解貝氏定理在連環恐怖攻擊中的預測作用,並通過神探貝氏的推理,體驗嫌疑犯X的獻身故事。最後,單純貝氏模型展示了智慧分類的應用場景。
★本書特色:本書以生動的故事和實例,揭示機率與統計在日常生活中的應用與奧秘。從生死抉擇、硬幣翻飛到Kobe的統計不朽,讀者將掌握機率、隨機變量、分布及假設檢定等核心概念。本書不僅讓數學變得有趣易懂,更幫助讀者在日常生活中靈活運用數學知識。 作者
李帥
大學和碩士均就讀電子工程系,現就職於某網路技術研究所,任網路工程師。碩士和工作期間曾參與雲端運算、大數據、網路流量分析等多個科學研究項目,在雲端運算和資料分析等技術領域富有一定經驗,與妻子曾共同翻譯英文科普讀物《讓你愛上數學的50個遊戲》等書,著有《世界是隨機的:大數據時代的機率統計學》。
目錄
前言
第一章 機率
1.1 生還是死:這是一個機率問題
1.2 隨機事件:翻飛的硬幣
1.3 條件機率:門後的老山羊與豪車
1.4 獨立事件:反覆拋起的硬幣
1.5 全機率公式:英超冠軍爭奪戰
第二章 隨機變量
2.1 隨機變量:骰子遊戲
2.2 期望與變異數:百變骰子
2.3 大數法則:莊家的信條
第三章 統計
3.1 從樣本到總體:管中窺豹
3.2 頻率、平均數與中位數:致敬「黑曼巴」
3.3 變異數與標準差:致敬馬刺
3.4 平均數與變異數估計:近射與狙擊
第四章 分布
4.1 分布:統計學的「九九乘法表」
4.2 等機率分布:硬幣的兩面
4.3 幾何分布:一次就好
4.4 二項分布:反覆擲骰子
4.5 帕松分布:神奇的e
4.6 正態分布:完美曲線
4.7 指數分布:「二八」與「長尾」
第五章 賭博中的機率統計
5.1 賭博:激情與理性
5.2 雙色球:千年等一回
5.3 足彩:愛足球,更愛足彩
5.4 德州撲克:我不是教你詐
5.5 21 點:保守未必是壞事
第六章 假設檢定
6.1 主場優勢:規律還是假象?
6.2 假設檢定:主場真的有優勢嗎?
6.3 反證法:無罪推定
第七章 貝氏定理
7.1 牧師貝氏:深藏功與名
7.2 賭神貝氏:一賭定終身
7.3 死神貝氏:連環恐怖攻擊
7.4 神探貝氏:嫌疑犯X 的獻身
7.5 單純貝氏:智慧分類
第八章 線性迴歸
8.1 預測未來:以數據之名
8.2 線性迴歸:奇準的票房預測
8.3 適合度評估:適合度檢定與分區段適合度檢定
第九章 漫談機率統計
9.1 觀念導正:機率統計常識
9.2 後設認知:機率統計之「道」
9.3 兵器譜:統計軟體大盤點
9.4 大數據:創新與挑戰
試閱
1.1 生還是死:這是一個機率問題
2012年7月21 日,北京大雨傾盆,下午兩點,我接到父親的電話,要我趕快回東北老家,家中病危的爺爺快撐不住了。
我抓起外套出門,冒著大雨瘋狂地跑進地鐵,奔向北京站。
第二天傍晚五點半,我下了火車,直奔醫院。病床前,我看到瘦骨嶙峋的爺爺蜷縮在那裡,已經沒了意識,奄奄一息。八點整,爺爺血壓驟降,醫生對父親點了點頭,時辰到了。我終究沒能和爺爺說上最後一句話。
後來,我常會夢到爺爺。在夢中,爺爺坐在青綠色的老式沙發上,戴著折疊式老花鏡,饒有興致地看《城市晚報》。爺爺已經去世了,但又分明看到爺爺就坐在那裡。夢中的那一刻,我真的分不清爺爺是生還是死。
生死與有無、對錯一樣,都是鮮明對立的東西,它們看似是兩條平行的直線,永不相交。然而,夢中的我卻分不清爺爺是生還是死。生與死真的永無相交的可能嗎?
鷹溪橋上的法克爾
下面是美國小說家安布羅斯・比爾斯的小說《鷹溪橋上》的片段節選, 故事發生在美國南北戰爭期間,講述的是農場主法克爾被處以絞刑的故事。
阿拉巴馬州北部的鐵路橋上,一個男人站在那裡,俯視著橋下二十公尺處湍急的流水。這人的雙手被人用繩子綁在身後,一根繩索緊緊地套在他的頸部,繩索的另一端被繫在他頭頂上方交叉的架子上,一段繩子鬆鬆垮垮地垂在他的膝蓋處。鐵軌枕木上鋪著幾塊木板,他和要對他行刑的一名中士和兩名列兵就站在上面。
那個即將被施以絞刑的男人看起來大約三十五歲,一副平民的裝扮。如果從他的舉止行為來看,他像是一位莊園的農場主。他五官端正──鼻子高挺, 嘴唇堅毅,額頭飽滿,長長的黑髮順直地披在腦後,他的眼睛大而烏黑,面目和善,人們很難想像到這人即將被施以絞刑而死。
他索性睜開眼睛,看著身下的流水。「如果我能把雙手掙脫,」他心裡這樣想著,「我就能擺脫頸上的繩索,跳到河裡去,然後潛到水下躲避那些子彈,拚命地游到河岸邊,鑽進那裡的森林,就能跑回家了。謝天謝地,我家不在他們的封鎖線裡,我的妻子和孩子們離他們的先頭部隊還有些距離。」正當這些想法在犯人腦中閃過時,上尉對中士點頭示意。中士從那塊木板上跨到了一邊。
當法克爾從橋上徑直地向下墜落時,他已經沒有了意識,就像是死了一樣。彷彿過了很久,頸部劇烈地擠壓所帶來的疼痛使他從這種狀態中清醒了過來,接著就感到了窒息。他知道那條繩索已經斷了,他墜入了河中,那種窒息的感覺沒有加劇。他在黑暗中睜開了眼睛,看到了他上方的一道亮光。他的兩隻手快速的向下拍水,使身體上浮,他感覺自己的腦袋已經浮出了水面,炫目的陽光使得他睜不開眼睛。他看到了那座橋,以及給他施以絞刑的執行者,他們正大喊著用手指向這邊,子彈射到水裡,離他的頭只有幾英吋的距離,濺起的水花打在他的臉上。
法克爾猛地向水下潛去,盡量鑽到水的深處。法克爾在湍急的流水中奮力地划水,他思維清晰,四肢越發有力,心裡想著:「上帝保佑我,保佑我能躲過所有的子彈!」
突然,他感覺自己開始一圈圈地旋轉起來,像陀螺一樣。水面、河岸、樹林,已經離得很遠的橋,還有那軍事堡壘和那些士兵,都混合到一起,變得模糊不清。水中的一處漩渦將他捲了起來,沒過一會兒,他就被水流拋到了左岸邊的一堆礫石上。他喜極而泣,兩手抓起泥沙,一把把的往上揚,落到自己身上,喃喃地說著一些祝福的詞句。他躍身而起,迅速地往坡上的岸邊跑去,鑽進了那片樹林。
那一天,他都依照著太陽往前走,那片樹林太過茂密,像是永無盡頭, 他到處都找不到一個可以休息的地方,甚至都找不到一條樵夫走過的小道。夜幕降臨時,他已經走得精疲力竭,可是一想到他的妻子和孩子們,他又竭力地繼續向前走。最後,他終於找到了一條通往他家的路。那條路像城市裡的街道那樣筆直而寬闊,可卻像是無人從此處通行過,路的兩邊沒有田野,也沒有房屋。他的眼睛有些腫脹,沒法閉眼,口中乾渴,舌頭也發脹起來,他把舌頭伸出口外去接觸空氣,感受絲絲的涼意。這條沒人走過的路上全是草,這些草多麼柔軟,軟得讓他無法感覺到腳下的路!
他站在自己家門口,所有的一切都和他離開時一模一樣。當他推開門,他看到了女人的衣裙在飄動;他的妻子還是那麼的清新甜美,正從門廊中走出來迎接他。她走下了台階,臉上帶著神秘的笑容,那種氣質簡直無與倫比!啊, 她是多麼的美麗!他伸開雙臂衝過去…… ──節選自《鷹溪橋上》
讀到這裡,我們的心中難免會有一個疑問:法克爾究竟是死了還是逃跑了?
讀到法克爾掉入水中,拚命掙扎著爬上岸時,我們相信法克爾真的逃脫了;可是,怪異的樹林、無人走過的路、無法感覺腳下的路,又讓人心生懷疑:難道這些是法克爾的幻覺?我們希望法克爾成功逃脫,回到家中與妻子團圓,又擔心一切都是法克爾的幻覺。法克爾在我們心中彷彿是一個既可能「生」又可能「死」的人!
薛丁格的貓
要測試你是否真的瞭解「量子物理」,只需要問你兩個問題。
第一個問題:你知道「薛丁格的貓」嗎?
(我猜你會點頭。)
第二個問題:你知道哥本哈根學派嗎?
(別皺眉了,趕快承認不知道吧。)
大多數人都知道這隻著名的貓,卻不知道這隻貓到底是怎麼來的,沒錯,這隻貓與哥本哈根學派有莫大的關係。
哥本哈根學派於1920 年代初期建立,對量子物理的創立和發展有很多重要貢獻。學派的創始人是著名量子物理學家波耳,主要成員包括玻恩、海森堡等知名物理學家。薛丁格也是量子物理學界的鼻祖,他提出的「薛丁格方程式」為量子力學奠定了堅實的基礎,至今折磨著一代又一代的理工學系。不過,薛丁格並不是哥本哈根學派的成員,這是因為他對哥本哈根學派的理論存在質疑。為了有的放矢地提出自己的質疑,他突發奇想了一個實驗—「薛丁格的貓」。
「薛丁格的貓」是一個思想實驗,實驗的過程是,把一隻可憐的小母貓關在一個密室裡,密室裡有食物也有毒藥,毒藥裝在瓶子裡,瓶子上有一個錘子,錘子由一個電子開關控制,如果電子開關被觸動,錘子就會落下,砸碎瓶子,瓶子裡的有毒氰化物就會毒死小貓。問題是:小貓到底是活著還是死了?
實驗的關鍵在於,電子開關是否被觸動是一個隨機發生的事件,發生的機率是50%。這裡的50% 不是「拋硬幣50% 出現正面」這麼簡單,要產生真正的隨機事件,需要使用放射性元素。在微觀世界裡,放射性元素衰變是宇宙都無法預知的隨機事件,一個真正的有50% 機率發生的隨機事件。控制電子開關的正是放射性元素,如果放射性元素發生衰變,則開關被觸動,錘子砸碎毒瓶,小貓必死。
這個問題要分兩種情況討論。
情況一:我們打開密室觀察,可以確切地知道小貓是生還是死。如果放射性元素發生了衰變,那麼可憐的小貓一定已經中毒身亡;如果沒發生衰變,那麼可愛的小貓依然活著。
情況二:我們不打開密室,由於放射性元素的衰變完全無法預測,所以小貓既可能生,也可能死,我們只能認為小貓處於「生與死」的疊加狀態!
用量子物理的語言來說,當我們沒有觀察小貓時,小貓是被「電子雲」包裹,生與死兩種狀態互相疊加,形成了一個「疊加態」,當我們進入密室觀察小貓時,「電子雲」瞬間塌陷了,於是我們只能觀察到某一種狀態的小貓。
一隻「既生又死」的貓?這明顯違背常識。薛丁格把微觀世界的疊加狀態平行的移植到宏觀世界中,以此質疑量子物理的「完備性」,也就是說,量子物理中的「疊加態」在宏觀世界中不成立。
量子物理學家波耳曾說:「誰要是第一次聽到量子理論時沒有感到困惑,那他一定沒聽懂。」親愛的讀者朋友,你是聽懂了還是沒聽懂呢?
我們活在當下,感知當下,環顧四周,彷彿一切都是確定無疑的。可是,此時此刻,還有很多人、很多事是你感知不到的,對你而言,它們是「不確定的」。鷹溪橋上的法克爾和薛丁格的貓到底是生還是死?這不再是一個非此即彼的問題,在謎底揭開之前,它們既可能生,也可能死,這是一個機率問題,專門研究機率問題的學科就是—機率論。