讓三代人愛上數學的啟蒙書:日本暢銷90年!銷售破50萬本!古代的數學發明,經歷了什麼故事,變成小學、中學、高中、大學非學不可的公式和原理?
 
作者: 矢野健太郎 
書城編號: 28977472

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出版社: 大是文化
出版日期: 2024/10
頁數: 256
ISBN: 9786267539446

商品簡介
◎從鳥巢裡偷走鳥蛋,母鳥會發覺嗎?鳥、狗、馬會數「數」嗎?
◎埃及人畫直角只需要用一根繩子,怎麼辦到?
◎用一根木棒,就能算出金字塔高度?2,600年前的數學家泰利斯已經懂「比例」。
◎除《聖經》外最多人讀過的書──《幾何原本》,很多中學課本還在用。

本書首次出版於1936年,歷經數家出版社、數次改版,
在日本持續銷售超過90年,銷售破50萬本!

作者矢野健太郎於1941年取得東京大學理學博士。
1950至1952年,曾在普林斯頓高等研究院留學,與愛因斯坦結下深厚的友誼。

他的專長是微分幾何學。在研究方面功績卓越,
著作被日本大學、專科學校採用作為教科書,於1993年過世。

本書用輕鬆的小故事與數學家不為人知的趣聞,分享:
母鳥能分辨鳥巢裡到底有4顆蛋還是5顆蛋?
遠古人類數數,手指和腳趾不夠用怎麼辦?「你的手指借我用一下!」
畢達哥拉斯發現畢氏定理後,竟殺了100頭牛獻祭?
奠定微積分理論基礎的牛頓,其實是重度貓奴鏟屎官?
古代的數學,怎麼變成小學、中學、高中、大學課本裡的公式和原理?

◎遠古人類如何數數?十根手指頭和十進位法。
學者曾深入偏遠地區研究土著,發現他們只能數到 2,
數量超過 2 就稱作「很多」!
土著怎麼計算超過 2 的牲畜數量?用刻痕記帳法。

◎尼羅河帶來的恩賜—─幾何學的誕生
   尼羅河定期氾濫,常破壞規畫好的田畝,因此當局得重新劃分土地。
重新劃地就得算面積,幾何(geometry)就是源自土地(geo)測量(metry)。
    
  ◎世界最知名的定理發現人畢達哥拉斯,竟有家歸不得。
畢達哥拉斯曾在義大利興辦學校,但他設了個奇妙規定:「研究結果不可外傳。」
後來還干預國政招致民眾反感,害他的住家和學校被焚毀,最終流落他鄉。

◎你現在還在讀他寫的教科書──《幾何原本》作者歐幾里得。
《幾何原本》是歐幾里得執教時用的教科書,直到兩千多年後的今天,
目前中學課本還在用它的內容,堪稱繼《聖經》後最多人讀過的書。

球體積公式:4/3乘π乘半徑的三次方, 4/3這個數字怎麼來的?
想知道35678÷9的餘數?把3、5、6、7、8加起來除以9就有解答。
如何用一筆畫畫完五芒星?這也跟數學有關,書裡教你小訣竅!

從算數與數字,到數學家的故事,日本暢銷90年!銷售破50萬本!
古代的數學發明,經歷了什麼故事,
變成小學、中學、高中、大學非學不可的公式和原理?

名人推薦

各界推薦

「作者從遠古的人類開始,談論各地不同的文明如何計數,並非只是呈現考古知識,而是深入思想層面的探究。5進位?10進位?20進位?甚至60進位?作者娓娓道來說給你聽。
接著再談論古希臘時代以降的數學家們,是如何一代一代發展出令人驚嘆的數學思想。從利用相似形的觀念測量金字塔的高度,從基本算術發展到代數方程,再從方程式發明出解析幾何學,這跨越兩千多年的歷史軌跡,都是數學家們智慧的淬煉,讓人讀來心馳神往、陶醉不已。」
──北一女中數學老師,國際數學奧林匹亞競賽金牌獎得主/王嘉慶

「我喜歡這本書的內容,它介紹人物和數學史的故事時,比一般數學書更注重人生歷程中的其他非數學面向,讓人物的刻畫很生動;一些觀念的來歷和解釋也很細緻。」
──趣學數學HFIMath/Joey

作者

矢野健太郎

已故日本數學家,出生於1912年。1934年東京帝國大學理學院數學系畢業。1938年於巴黎大學、1941年於東京大學取得理學博士。曾擔任東京大學副教授、東京工業大學教授。

1950年至1952年曾擔任普林斯頓高等研究院研究員,與愛因斯坦結下深厚的友誼。專長的微分幾何學在數學上為相對論奠定基礎,且身為該領域的權威,與各國的數學家結交來往,引導日本的數學界邁向國際化。

著有多本著作,包含《機率的故事》、《數學的思維》等啟蒙書與考試參考書。1983 年獲頒勳二等瑞寶章,1993 年過世。

譯者

林巍翰

畢業於清華大學和關西外國語專門學校。現為全職日文譯者。目前已出版譯作二十餘冊,內容涵蓋歷史、政治、心理勵志、健康和科普等領域,期許自己的譯作能為讀者提供良好的閱讀體驗,以成為中文世界值得信賴的日文譯者為目標。

目錄

推薦序 感受到數學思維的威力,怎麼不愛上數學!/林福來

第一部 算數與數字
第一章 動物能分辨數量嗎?
第二章 遠古人類如何數數?
第三章 十根手指頭和十進位法
第四章 尼羅河帶來的恩賜
第五章 巴比倫數學,離不開六十進位法
第六章 各式各樣的記數法

第二部 數學家的故事
第七章 用一根小木棒算出金字塔高度──希臘數學始祖泰利斯
第八章 世界上最知名的定理──畢氏定理發現人畢達哥拉斯
第九章 神諭裡的幾何難題──蘇格拉底最優秀的學生柏拉圖
第十章 你現在還在讀他寫的教科書──《幾何原本》作者歐幾里得
第十一章 國王的軍事技師──幾何學之神阿基米德
第十二章 算術與代數的發展
第十三章 英年早逝的數學家──法國天才帕斯卡
第十四章 連接了幾何與代數──法國貴族笛卡兒
第十五章 小時候成績吊車尾──史上最偉大科學家牛頓

第三部 歐拉與一筆畫問題
<解答>
後記 數學的發展簡史

序/導讀

數學的發展簡史
本書從動物是否具備數字概念、人類的祖先如何認識數字,以及他們是用什麼方法數數兒、過程中手和腳發揮的功能開始,一路談到現在已知人類歷史上最古老的數字──古埃及和古巴比倫的數字是什麼模樣,然後談到數學在古希臘的發展,以至歐洲在繼承古希臘數學的基礎上,由帕斯卡、笛卡兒、牛頓以及歐拉等人,在數學領域留下的偉大成就等,概略的敘述自數字誕生到數學發展的歷程。
我開始撰寫本書,可回溯至第二次世界大戰爆發前的1936 年。撰寫完成後,當時由小山書店負責出版。二次大戰結束,小山書店將這本《讓三代人愛上數學的啟蒙書》納入「梟文庫」系列,我也全面重新改寫書中內容,作為該系列的第五卷重新問世。
對我來說,這是我撰寫的第一本書,因此也非常喜愛它。此次承蒙小山久二郎的好意以及角川書店的推薦,本書有幸成為角川文庫的一員再次出版。能讓更多人讀到這本書,實在讓我感到無比的欣喜。


推薦序
感受到數學思維的威力,怎麼不愛上數學!

國立臺灣師範大學數學系名譽教授/林福來

這是一本故事書。在歷史的軸線上,述說著自遠古人類祖先如何認識數字,一路推進到十七世紀,我們小學、國中數學單元學到的內容,包括這些公式、定理,是由哪些人、如何被創造、被發現的。一本故事書,又如何能「讓人愛上數學」?閱讀本書後,我跟大家分享幾項特點。

一、故事超乎想像,趣味十足
很多人喜歡寵物,貓、狗、馬、鳥等。主人與動物之間往往互動良好,總覺得自己的寵物好聰明!但動物到底有多聰明?怎麼檢測牠們的IQ?本書在一開始就問,動物能分辨數量多寡嗎?這本書的故事調性,在於激發讀者的想像力、有趣,促使我們想更親近故事的背景知識!

二、解惑
正負得負,負負得正!有關正、負數的乘、除運算法則,很多人在國中時都是用背的,而不知其所以然!本書用專章(第11章)說明這些法則,簡單明白,很有說服力,讓讀者感受到:「運算法則原來如此!」同時也解除了只能依靠背誦,擔心遺忘或記錯的不安。

三、「探索知識源頭」的迷人之處
學校所教的數學知識,聚焦概念與程序性知識,很少追溯它們是如何產生的。本書則著重述說數學單元內容的源起。例如,巴比倫人的數系為何採用六十進位制,跟一圓周角是360度有關嗎?巴比倫人認為地球是宇宙中心,從地球觀察太陽,每天偏的角度就是1度。這是角度測量的起源。
再如,數學知識體系的形式表徵「定理與證明」,整個數學殿堂建築,都奠基於此形式。西元前三世紀歐幾里得(Euclid)編著的《幾何原本》(Euclid,s Elements),就是形式化數學體系的典範。那麼最早創用「定理與證明」表徵的,是歐幾里得嗎?不對,比歐幾里得早300年的泰利斯(Thales of Miletus),就已形式化數學知識了!「他從埃及人豐富的經驗中,提取一般認為是正確的內容,然後將其以定理的方式呈現並證明。」泰利斯證明的幾何定理,包括「兩直線相交,對頂角相等」、「等腰三角形,兩底角相等」、「ASA(兩角,且夾邊相等)三角形全等定理」。探討知識源頭,是迷人的。

四、搭配生活軼事,讓數學家更富有人性、可親
本書第二部,以擁有巨大成就的數學家定章名,從西元前六世紀的泰利斯到十七世紀的牛頓(Isaac Newton)。泰利斯研究天文,預言西元前585年5月28日有日蝕。當時兩個國家正在激烈戰鬥。當天天色突然逐漸黯淡,白晝變為黑夜,交戰雙方見狀,都認為:「一定是兩國長久戰爭,激怒天神,趕快停戰,以平息天神的憤怒吧!」雙方立刻收兵,將士們都對泰利斯讚譽有加。
再說到牛頓,他愛貓,家裡各個房間之間都打了貓洞。有一天,牛頓的母貓生了好多隻小貓。牛頓立即吩咐男僕,在原貓洞旁再打幾個小洞,方便小貓進出。直到男僕提醒說,小貓也可鑽大洞通行啊!牛頓才恍然!這樣的牛頓,當然親民了!

五、問題解決的思維,貫穿所有故事
如何用一根木樁,測量幾十公尺的金字塔高度?如何用一條繩子,做出直角?
除了數學問題解決的思維,一般化、特殊化、猜想、說服等都自然的融入了故事中,讓讀者容易品味。此外,關於日常生活問題的解題思維,讀起來也津津有味。例如,泰利斯原本是鹽商,以騾子駝鹽運送販賣。有一次騾子在河中跌跤,爬起來後因鹽溶於水,背上變輕了。好逸惡勞,騾子表現得淋漓盡致,每次過河都故意跌跤。如果你是泰利斯,要如何糾正騾子不利於主人的行為習性?
在閱讀過程中,體驗了數學思維用於解決問題的威力,又怎能不愛上數學!

試閱

尼羅河帶來的恩賜

接下來,故事就從埃及開始說起。
尼羅河的源頭遠在埃及的內陸地區,沿途流經沙漠地帶。每年到了雨季,大量的雨水會使尼羅河河水暴增,因而導致下游地區氾濫。然而,也正因如此,尼羅河上游的肥沃土壤便會沖到下游地區,讓這裡的河畔成為適合農業發展的土地。人類文明在這樣的土地上綻放,實屬自然。
但是尼羅河的定期氾濫,同時會破壞人們辛苦規畫的田畝。為此,埃及每逢河水氾濫時,國王就得減免受水患影響的人民的稅金才行。而在洪災過後,也得重新劃分土地。
就這樣,為了計算稅金所須的算數,以及測量土地時用的幾何學,很自然的在埃及有長足的發展。幾何學的英文為「geometry」,我們可以從「geo」意指土地、「metry」意指測量得知,這門學問是源自於土地測量。另外,埃及人為了盡可能準確掌握尼羅河定期氾濫的時期,所以天文學研究也相當興盛。
數千年前盛極一時的埃及文明如此充滿魅力,也讓人們想一探究竟。
1798 年,拿破崙親率大軍遠征埃及。某天,在尼羅河口、名為羅賽塔(Rosetta)的小城市附近,某位法國工兵挖掘古代廢墟時,意外發現了一塊石頭,整面刻滿奇妙文字。如果是一般的軍人,可能不會對這塊石頭產生任何興趣,幸好這位法國工兵認為這塊石頭上雕刻的一定是古埃及文字,因此小心翼翼的將其當作戰利品帶在身邊。之後法軍在戰場上被英軍擊敗,於是這塊石頭就從法軍手中轉移到英軍,如今仍妥善的保存在大英博物館。因為這塊石頭最初是在小城羅賽塔附近發現的,所以稱為「羅塞塔石碑」(Rosetta Stone)。
雖然發現了這塊石頭,為世人揭示了古埃及文化,但當時沒有人知道上頭到底寫了什麼。英國的物理學家托馬斯.楊格(Thomas Young)首先挑戰解讀這塊石碑上的內容,但經過多年努力後,解讀出來的字還不到一百個。繼托馬斯.楊格之後,法國考古學界的天才商博良(Jean-François Champollion),也開始全心投入破譯羅賽塔石碑上的文字。皇天不負苦心人,20年後,商博良終於完全解讀出石碑的內容了。
經由托馬斯.楊格和商博良兩位學者的研究,現在我們知道,刻在羅賽塔石碑上的是古埃及的象形文字(按:其實石碑上還有平民用的埃及草書和古希臘文),而且石碑的內容還包含了數字在內。


用一根小木棒算出金字塔高度──希臘數學始祖泰利斯

從本章開始,會介紹多位在數學發展史上,留下巨大成就的數學家,好讓各位了解古代的數學,是如何演變成學生現在在小學、中學、高中,以至於大學裡學習的厲害數學。
第一位登場的是泰利斯,他是古希臘數學的始祖,也被譽為比例之神,更名列希臘七賢人之一。
泰利斯大約在兩千六百多年前,誕生於希臘的米利都(Miletus),小時候曾在商店當學徒。年紀稍長後,有一次他因為買賣上的要事,渡過地中海前往埃及。對年輕的泰利斯來說,埃及的風土人情在他眼裡無比珍貴。他在埃及生活期間,逐漸和一位寺院的僧侶結為好友。有一天,這位僧侶告訴他:「在我的寺院裡,收藏著一本獨一無二、十分珍貴的書籍,但這本書是珍藏密本,不能給任何人看」。
然而,越是禁止看的東西,人們往往越想一探究竟,這也是人之常情,泰利斯當然也不例外。他一聽僧侶這麼說,無論如何都想讀一下這本書。於是他開始幾十次、幾百次、不斷的央求僧侶。僧侶最終招架不住泰利斯的請求,看在他的面子上,便答應悄悄把書借給他。其實僧侶口中的珍藏密本,是記載數學和天文學的書。借到書的年輕泰利斯欣喜若狂,沒日沒夜的仔細研讀,終於記住了書中的全部內容。
此後,泰利斯覺得數學和天文竟然如此有趣,便把經商的事全忘了,熱切學習研讀,最終成為歷史上首位成就非凡的大數學家。
泰利斯的名聲,與他可能是史上第一位思考「比例」的人有關。今天我們可以從泰利斯測量金字塔高度的方法,來探究他對比例的想法,以及如何應用。

精準預測日蝕,平息戰爭
日蝕是因為太陽移動到月球背面,造成白天時太陽發出的光被月球遮蔽的天文現象。
大約距今二千五百四十多年前的某一天,泰利斯突然向世人宣告:「(西元前585年)5月28日這一天,太陽會在白天失去光芒,黑夜將突然造訪,星星會在天上閃爍。」
泰利斯之所以敢如此自信的發表這番驚世駭俗的宣言,背後自然是有精密計算的結果當靠山的。然而,當時的人只當他是瘋子,完全不相信他說的話。
到了5月28日這一天,太陽還真的在白天時逐漸黯淡下來,白晝變成黑夜,星星在天空中閃耀著光輝。原本把泰利斯當成瘋子的人們,到了這一刻才終於相信,他的確是知識豐富的偉大天文學家。
其實,5月28日這一天,呂底亞和米底亞這兩個國家正在激烈的戰鬥,但因為天上的太陽正如泰利斯所預言、突然失去光輝,於是交戰雙方見狀後都認為:「一定是我們兩國長久的戰爭,激怒天上的神明,看來我們還是趕快停戰,以此來平息天神的憤怒吧。」之後雙方立刻收兵回家。據說兩方的將士們都對泰利斯的預言讚譽有加。


神諭裡的幾何難題──蘇格拉底最優秀的學生柏拉圖

柏拉圖於西元前430 年,誕生於希臘的雅典(Athens)。
在蘇格拉底門下學習時,柏拉圖醉心於哲學研究,之後也成為不亞於老師的哲學家。據說蘇格拉底雖作為老師,也沒有把柏拉圖當成弟子,而是以朋友相待。
然而,正如大家所知,蘇格拉底被判處死刑,最後在監牢裡服毒、結束生命。老師的過世令柏拉圖非常哀痛,便隻身一人踏上旅程,前往他鄉遊歷,長達數十年之久。在這段期間裡,柏拉圖潛心研究哲學和數學,並結交許多哲學家和數學家為友。據說當他停留在義大利時,還曾和畢達哥拉斯學派的人深入交流。
柏拉圖經過了漫長的學習和旅行後返回故鄉,在雅典近郊的阿卡德米亞(Akadēmía)森林附近開設學校。許多聽聞柏拉圖學術盛名的人,還從遙遠的國度前來。
據說,柏拉圖在他開辦的學校門口掛了一塊牌子,上頭用斗大的字寫著:「不懂幾何學的人,不得入學。」由此可知柏拉圖多麼重視幾何學了。
關於柏拉圖,還有一則有名的故事。
當時,恐怖的傳染病侵擊了希臘的提洛島(Delos),島上每天都有十幾人被奪走性命。當地的居民見狀,認為憑藉人類的力量不可能克服這場瘟疫,於是轉而詢問該島的守護神阿波羅,該怎麼做才能終止疾病蔓延。阿波羅透過神諭說到:「只要你們把神殿中的正立方體祭壇加大一倍,我就立刻終止瘟疫蔓延。」島上居民們聽到神諭後無不歡欣鼓舞,立刻把正立方體的祭壇,以兩倍的邊長、重新製作成更大的正立方體祭壇,然後獻給阿波羅。
島民們原本以為獻上祭壇後,瘟疫應該就會平息下來,然而,疫情非但沒有趨緩,反而越來越嚴重。於是島民們便把神諭的內容,拿去請教一位數學家。數學家了解來龍去脈後,告訴他們:「乙的邊長不過是甲的兩倍而已,如此一來,乙的體積會變成甲的八倍。這麼做只會造成天神不悅。」聽了數學家解釋後,島民們才發現搞錯了,只是把邊長加倍所製作的祭壇,體積會是原本的八倍。
於是,島民們又製作了另一個與原祭壇甲一樣大小的祭壇,將其擺放在旁邊,獻給神明。但就算這麼做,瘟疫還是沒有平息的跡象。
無計可施的島民只好再次詢問阿波羅,到底哪裡出了問題。這次神諭說:「你們確實把祭壇的大小變成兩倍,但這個祭壇的形狀不是立方體。我想要的新祭壇,是體積為原祭壇的兩倍,且形狀是立方體」。
到底該怎麼做,才能在維持立方體形狀的情況下,把體積變成兩倍?
這個問題難倒了島上的居民和那位數學家。不久後,這道難題也傳到了柏拉圖耳裡。
為了島上的居民,柏拉圖開始研究該問題。起初,他想僅靠直尺和圓規來解答,卻怎麼樣也找不到正確的解答。

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